Teorema e parë që Pugh provon pasi përcakton integralin e Riemann është se integrueshmëria nënkupton kufirin. Kjo është Teorema 15 në faqen 155 në botimin tim. Kjo tregon se së pari duhet të bien dakord për përkufizimet.
A nënkupton Riemann integrable i kufizuar?
Teorema 4. Çdo funksion i integrueshëm i Riemann është i kufizuar.
A janë të integrueshme funksionet pa kufi?
Një funksion i pakufizuar nuk është Riemann i integrueshëm. Në vijim, "integral" do të thotë "Riemann i integrueshëm" dhe "integral" do të thotë "Riemann integral" përveç rasteve kur shprehet ndryshe. f(x)={ 1/x nëse 0 < x ≤ 1, 0 nëse x=0. kështu që shumat e sipërme të Riemann-it të f nuk janë të mirëpërcaktuara.
A është i kufizuar një funksion i integrueshëm Lebesgue?
Funksionet e matshme që janë të kufizuara janë ekuivalente me funksionet e integrueshme Lebesgue. Nëse f është një funksion i kufizuar i përcaktuar në një bashkësi të matshme E me masë të fundme. Atëherë f është i matshëm nëse dhe vetëm nëse f është Lebesgue i integrueshëm. … Nga ana tjetër, funksionet e matshme janë "pothuajse" të vazhdueshme.
Si e dini nëse një funksion është i integrueshëm në Lebesgue?
Nëse f, g janë funksione të tilla që f=g pothuajse kudo, atëherë f është Lebesgue i integrueshëm nëse dhe vetëm nëse g është i integrueshëm i Lebesgue, dhe integralet e f dhe g janë të njëjtat nëse ekzistojnë.
