Shënim: është e vërtetë që çdo sekuencë e kufizuar përmban një nënrend konvergjent, dhe për më tepër, çdo sekuencë monotonike konvergjon nëse dhe vetëm nëse është e kufizuar. Shtuar Shih hyrjen në Teoremën e Konvergjencës Monotone për më shumë informacion mbi konvergjencën e garantuar të sekuencave monotone të kufizuara.
A konvergon çdo sekuencë e kufizuar në R?
Teorema thotë se çdo sekuencë e kufizuar në R ka një nënrend konvergjent. Një formulim ekuivalent është se një nëngrup i R është kompakt në mënyrë sekuenciale nëse dhe vetëm nëse është i mbyllur dhe i kufizuar. Teorema nganjëherë quhet teorema e kompaktësisë sekuenciale.
A është konvergjente çdo sekuencë e kufizuar e numrave realë?
Përgjigje dhe Shpjegim: (a) A është çdo sekuencë e kufizuar konvergjente? Jo.
A konvergojnë çdo sekuencë monotonike e kufizuar?
Jo të gjitha sekuencat e kufizuara, si (−1)n, konvergojnë, por nëse do ta dinim se sekuenca e kufizuar ishte monotone, atëherë kjo do të ndryshonte. nëse një ≥ an+1 për të gjitha n ∈ N. Një sekuencë është monotone nëse është ose në rritje ose në rënie. dhe i kufizuar, pastaj konvergon.
A kanë të gjitha sekuencat e kufizuara një nënsekuencë konvergjente?
Teorema Bolzano-Weierstrass: Çdo sekuencë e kufizuar në Rn ka një nënsekuencë konvergjente. e {xmk } është një sekuencë e kufizuar e numrave realë, kështu që edhe ajo ka një nënsekuencë konvergjente, … Në të kundërt, çdo sekuencë e kufizuar është në njëbashkësi e mbyllur dhe e kufizuar, pra ka një pasardhës konvergjente.
